高考关于函数最值的题_高中函数最值问题的常用解法

摘要：如何求函数的值域已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出

如何求函数的值域

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。

师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。

都有什么题型呢？（学生思考解答）

生：①，②，③，

师：你是怎样得到的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴）

生1：将和代入，将和代入，……就得到了。

师：生1的正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理）

师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法）

生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。

师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为……

生（齐）：数形结合。

师：试看下一个问题：试求的值域。

生3：把(2)描点;看作一个整体，，，

师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目学生逐步深入）

生4：①，②，

师：研究、解决这类问题的关键在于寻找突破口，此类题目的突破口在何处？

生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考）

师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为……

生（齐）：换元法。

教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）

①②③

其没有固定的方法和模式。但常用方法有：（1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围；（2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法（3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。（4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！（1）y=4-根号3+2x-x^ 此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3. ∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2. 当x=-1或3时,ymax=4. ∴函数值域为[2,4] (2)y=2x+根号1-2x 此题用换元法: 令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2 ∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4, ∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值. ∴函数值域为(-∞,5/4) (3)y=1-x/2x+5 用分离常数法 ∵y=-1/2+7/2/2x+5, 7/2/2x+5≠0, ∴y≠-1/2

高三数学函数例题及解析(2)

的解析式。解：

高中数学函数知识点总结一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为常数，k≠0)

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当b>0时，直线必通过一、二象限;

当b=0时，直线通过原点

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：(不全，希望有人补充)

1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如y=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a下关系：

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式顶点坐标对称轴

y=a(x-h)^2 (h，0) x=h

y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

反比例函数

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数。

(2)对数函数的值域为全部实数。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数。

指数函数

指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1) 指数函数的定义域为所有实数的，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,相交。

(7) 函数总是通过(0，1)这点。

(8) 显然指数函数。

奇偶性

注图：(6、函数的值域是（）1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3. 奇偶函数运算

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的

(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

(3)函数单调性法，

(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的(即中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的(即中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

高考三角函数题

2.当x=0时，高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点(二)b为函数在y轴上的截距。

cosx本身不是偶函数吗？而且我们老师也说过要把括号里的统统的看成一个整体，如令9π/2+2=Z 则f(x)=cosZ ,那这个时候这样来看y=ax^2 (0，0) x=0不又是偶函数了吗？

关于一道高考数学函数值域的问题（求祥解）

五、待定系数法

1.乘开!

2.求导!

3.令导(1)设特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。数为零!

4.求出导数为零的X值

5,将X代入原式

6.可以得到两个含有AB的式子

7.解二元一次方程组!解得A,B

求函数最值问题的思路是什么?

当cos后的x变化的时候这整个也会平移和缩放的

把导数等于零的点题目给的定义域的端点都带入方2xf(x)+x^2f'(x) < x^3程，其中的值就是值最小值就是最小值，如果定义域是开区间就不用算端点了

先用求导等方法求出所有的驻点,再代入原函数看看哪个结果就是值.如果有定义的则此时称y是x的一次函数。区间还得比较区间两端点的函数值大小哟.

高考数学导数大题怎么确保思路正确

常用的求值域的方法

高考导数考什么？

高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。

①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性；

②应用导数求函数的极值与最值；

③应用导数解决有关不等式问题。

有没有什么解题技巧啦？

导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为

①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）;

②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间；

③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时－6，该区间为增区间,反之则为减区间。

从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。

技巧+生2：正确，但解法不好，他的是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。例题拆解

1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x之间的区别。

2．若题目考察的是曲线的切线，分为两种情况：

（1）关于曲线在某一点的切线，求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

（2）关于两曲线的公切线，若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)大于x^2,下面不等式在R内恒成立的是？

，求

2f(x)+xf'(x)大于x^2

x= 0 ===> f(0) > 0

例10.求函数的定义域。x>0 时，

2xf(x)+x^2f'(x) > x^3

(x^2f(x))' > 0, ===> 严格递增 x^2f(x) > 0^2f(0) = 0 ===> f(x) > 0

x<0 时，

(x^2f(x))' < 0, ===> 严格递减， x^2f(x) > 0^2f(0) = 0 ===> f(x) > 0

所以 A ,f(x)大于0二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

高考数学三角函数的求值整理

根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

三角函数专题的内容主要包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形。高考在该部分一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题。

命题方式

平面向量主要命题方向有两个：

（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主

（2）以数量积的运算为主；

三角函数解答题的主要命题方向有三个：

（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.结合；

（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；

（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2角函数知识的实际应用．

考点解析

该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用。

设变量x,y满足约束条件y≥1,y≤2x-1,x+y≤m,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于？

y=ax^2+bx+c

（一）求函数的解析式

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f〔g（x）〕的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的，一般要求用或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f〔g（x）〕的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的，一般由定义域和对应法则确定，常用或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值

1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】

考点一：求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1.已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。

解：由4x2－9y2＝36可解得：

。说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解：设，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例3.已知，试求。

解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例4.（1）已知，试求；

（2）已知，试求；

解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。

（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：由题意知：当x∈〔0，1〕时：y＝x；

当x∈（1，2）时：；

当x∈（2，3）时：；

故综上所述，有考点二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；往往是通过解不等式组确定自变量的取值。

例6.求的定义域。

解：由题意知：，从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：

{x|x－2且x≠±4}。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。

例7.已知函数由下表给出，求其定义域

314

解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

解：

又由于x2－4x＋30

联立、两式可解得：例9.若函数f（2x）的定义域是〔－1，1〕，求f（log2x）的定义域。

解：由f（2x）的定义域是〔－1，1〕可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为〔2－1，2〕，故log2x∈〔2－1，2〕，解得，故定义域为。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。

解：若，则x∈R；

若，则；

故所求函数的定义域：

当时为R，当时为，当时为。

说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法

例11.求函数的值域。

解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法

例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。

解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法

例13.求函数的值域。

解：可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：。

说明：对分子分母次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。4、单调性法

例14.求函数，x∈〔4，5〕的值域。

解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域为。5、换元法

例15.求函数的值域。

解：令，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

例16.求函数的值域。

解：当x∈〔1，2〕时，y∈〔1，2〕；当x∈2，3〕时，y∈4，9〕；当x∈3，4〕时，y∈5，7〕。综上所述，y∈〔1，2〕∪3，9〕。〔本讲所涉及的主要数学思想方法〕

1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。

2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。

3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。【模拟试题】

一.选择题

1、函数y＝f（x）的值域是〔－2，2〕，则函数y＝f（x＋1）的值域是（）

A.〔－1，3〕B.〔－3，1〕C.〔－2，2〕D.〔－1，1〕

2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间〔－2，2〕上的值为（）

A.2B.4C.6D.8

A.y＝20－2x（x≤10）B.y＝20－2x（x10）

C.y＝20－2x（4≤x10）D.y＝20－2x（5x10）

4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为〔a，b〕（ab），值域也是〔a，b〕，则区间〔a，b〕是（）

A.〔0，4〕B.〔1，4〕C.〔1，3〕D.〔3，4〕

5、函数y＝f（x＋2）的定义域是〔3，4〕，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（）

A.〔0，1〕B.〔3，4〕C.〔5，6〕D.〔6，7〕

7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（）二.填空题

8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝；

9、若函数的值域为，则其定义域为；三.解答题

10、求函数的定义域。

11、已知，若f（a）＝3，求a的值。

12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。

13、某人买来120m竹篱笆，想靠墙围成一个矩形养鸡场，一边靠墙，三边用竹篱笆。设鸡场的面积为y，与墙连接一边的长为x。

（1）将y表示成x的函数；

（2）与墙连接的一边多长时，鸡场的面积？

是不是出错题了

高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点归纳

解得

函数解析式与函数式相类似，都是求出函数x与y的函数关系，也是高考数学常考考点，下面是我给大家带来的高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点归纳，希望对你有帮助。

高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点(一)

函数解析式的常用求解方法：

(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得

，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广生参考。

一、定义法

根据函数的定义求其解析式的方法。

例1. 已知

。解：因为

二、换元法

已知

看成一个整体t，进行换元，从而求出

的方法。

例2. 同例1。

解：令

，所以“范围”与“值域”相同吗?

，所以

。评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即

的定义域。

三、方程组法

例3. 已知定义在R上的函数

满足

， ①

②得

，所以

。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例4. 已知函数

的定义域为R，并对一切实数x，y都有

的解析式。解：令

，令

，所以

例5. 已知二次函数

的二次项系数为a，且不等式

的解集为(1，3)，方程

有两个相等的实根，求

的解析式。解：因为

解集为(1，3)，设

，所以

得②

因为方程②有两个相等的实根，

3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（）所以

，即

又，将

①得

点击下一页分享更多高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点归纳